黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。
每个Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量：把Rn的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以这样产生。
我们可以定义黎曼流形为和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空间，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从Rn导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。
黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：
如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L（γ）为
（注意：γ"（t）是切空间M在γ（t）点的元...
