沈括隙积术

北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇，首创隙积术： 隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及洒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。余思而得之，用争童法为上位；下位别列：下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也

一个层坛，共h 层，上面axb,下底 c x d，

这是二阶等差级数求和问题：

沈括给出的公式 h 6 {\displaystyle h \over 6} ( ( 2 a + c ) b + ( 2 c + a ) d + ( d − − --> b ) ) {\displaystyle ((2a+c)b+(2c+a)d+(d-b))}

杨辉垛积术

杨辉在《详解九章算法》《商功》篇阐述了方垛，刍甍垛，刍童垛，和三角垛。

方垛

果子以垛，下方十四个，问计几何？ 术曰：下方加一，乘下方为平积。又加半为高，以乘下方为高积。如三而一 .

刍童垛

即长方形立体垛,上面长n个,宽m个,高h个:

三角垛

三角垛下广一面十二个，上尖，高十二个，问：计几何?

1 + 3 + 6 + 10 + . . . . n ( n + 1 ) / 2 = {\displaystyle 1+3+6+10+....n(n+1)/2=} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) {\displaystyle n(n+1)(n+2)}

朱世杰垛积术

三角垛

《四元玉鉴》 《果垛叠藏》第一问：

“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贵一文，问底子每面几何？”

术曰：立天元一为每个底子，如积求之，得三万一千六百八十为益实十为从方，二十一为从上廉，一十四为下廉，三为从隅，三桀方开之，得每个底子，合问。

三角垛级数

1 + 3 + 6 + 10 + . . . + {\displaystyle 1+3+6+10+...+} 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} n ( n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)}

三角垛自上而下，每边的果子数是：

1，2，3，4，5，6....n.

自上而下，每个果子值钱：

2，3，4，5，6.....(n+1}

三角果子垛价值V由下列级数表示

v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + {\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+} ………… 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle n(n+1)^{2}}

这是一个已知级数和，倒求 n 的数学问题。

朱世杰用天元术，令天元一 为每底边的果子数 （x=n)

朱世杰用的求和公式： v = {\displaystyle v=} 1 2 ∗ ∗ --> 3 ∗ ∗ --> 4 {\displaystyle 1 \over 2*3*4} ( 3 x + 5 ) ∗ ∗ --> x ∗ ∗ --> ( x + 1 ) ∗ ∗ --> ( x + 2 ) {\displaystyle (3x+5)*x*(x+1)*(x+2)}

今 v = 1320 {\displaystyle v=1320} 得

3 ∗ ∗ --> x 4 + 14 x 3 + 21 x 2 + 10 x − − --> 31680 = 0 {\displaystyle 3*x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0}

解之，得 x = n = 9 {\displaystyle x=n=9} 。

v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + 324 + 450 = 1320 {\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320} 。

三角落一形垛

1 ∗ ∗ --> 2 ∗ ∗ --> 3 + 2 ∗ ∗ --> 3 ∗ ∗ --> 4 + 3 ∗ ∗ --> 4 ∗ ∗ --> 5 {\displaystyle 1*2*3+2*3*4+3*4*5} +…… n ∗ ∗ --> ( n + 1 ) ∗ ∗ --> ( n + 2 ) = {\displaystyle n*(n+1)*(n+2)=} 1 4 {\displaystyle 1 \over 4} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) {\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)}

四角落一形垛

1 ∗ ∗ --> 2 ∗ ∗ --> 3 + 2 ∗ ∗ --> 3 ∗ ∗ --> 5 + 3 ∗ ∗ --> 4 ∗ ∗ --> 7 {\displaystyle 1*2*3+2*3*5+3*4*7} +…… n ∗ ∗ --> ( n + 1 ) ∗ ∗ --> ( 2 n + 2 ) = {\displaystyle n*(n+1)*(2n+2)=} 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} n ( n + 1 ) 2 ( n + 2 ) {\displaystyle n(n+1)^{2}(n+2)}

岚峰形垛

1 + 6 + 18 + {\displaystyle 1+6+18+} …… n 2 ( n + 1 ) = {\displaystyle n^{2}(n+1)=} 1 12 {\displaystyle 1 \over 12} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 3 n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)(n+2)(3n+1)}

三角岚峰形垛

6 + 48 + 180 + {\displaystyle 6+48+180+} …… n 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = {\displaystyle n^{2}(n+1)(n+2)=} 1 20 {\displaystyle 1 \over 20} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( 4 n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)}

撒星更落一形垛

1 + 5 + 15 + 35 + 70 + {\displaystyle 1+5+15+35+70+} …… 1 24 {\displaystyle 1 \over 24} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = {\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)=} 1 120 {\displaystyle 1 \over 120} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) {\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}

三角撒星更落一形垛

1 + 6 + 21 + 56 + 126 + {\displaystyle 1+6+21+56+126+} …… 1 120 {\displaystyle 1 \over 120} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n = 4 ) = {\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)(n=4)=} 1 720 {\displaystyle 1 \over 720} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) {\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}

四角岚峰形垛

6 + 90 + 336 + 900 + {\displaystyle 6+90+336+900+} …… n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) = {\displaystyle n^{2}(n+1)(2n+1)=} 1 10 {\displaystyle 1 \over 10} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n ( 4 n + 1 + 1 / 2 ) + ( 4 n + 1 / 2 ) ) {\displaystyle n(n+1)(n+2)(n(4n+1+1/2)+(4n+1/2))}

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