证明

证明卡诺定理

此定理可用以下的方式，针对不可逆热机及可逆热机的情形进行证明

不可逆热机

假设一不可逆热机，其热源为T1{\displaystyle T_{1}}及T2{\displaystyle T_{2}}，其热效率为η η -->{\displaystyle \eta }，此热机和一个效率为η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta \prime }的逆卡诺热机，依右图的方式组合成一个热力学循环，不可逆热机产生的功为逆卡诺热机的工作来源。

若η η -->=η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta =\eta \prime }，则此热力学循环对系不可逆性何影响，与不可逆性矛盾，因此不成立。

若η η -->>η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta >\eta \prime }，则此热力学循环可由低温热源T2{\displaystyle T_{2}}取出

的能量，将此能量释放到高温热源T1{\displaystyle T_{1}}，且不引起其他变化，违反热力学第二定律，也无法成立。

因此结论为η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta ，不可逆热机的效率η η -->{\displaystyle \eta }较卡诺热机的效率η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta \prime }低。

可逆热机

对于可逆热机的例子，可依类似的方式得到η η -->⩽ ⩽ -->η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta \leqslant \eta \prime }的结果。

若用待测的可逆热机当成逆热机，和一般的卡诺热机形成一个热力学循环，也可得到η η -->′ ′ -->⩽ ⩽ -->η η -->{\displaystyle \eta \prime \leqslant \eta }的结果。

由于上述二式需同时成立，可得以下的式子

应用在燃料电池上

有关卡诺定理是否能应用在燃料电池，至今科学家还没有达成共识。凯斯西储大学的教授认为“由于燃料电池中的电化学反应不涉及将热能转换为机械能，因此不受卡诺定理的限制”。不过K. T. Jacob及Saurabh Jain则认为“传统的观点认为燃料电池不受卡诺定理的限制，不过最近几篇论文都认为热力学第二定律不但限制热机的效率，也以同样方式限制燃料电池的效率”

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