理据

给出命题p{\displaystyle p}和命题p¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {p}}}（非p{\displaystyle p}）排中律排中律，两者之中起码有一个是真（更强的说法为，除了真和假之外并无其他的情况），所以若果其中一个是假的，另一个就必然是真。给出命题q{\displaystyle q}和命题q¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {q}}}（非q{\displaystyle 无矛盾律根据无矛盾律，两者同时为真的情况为假。给出命题p{\displaystyle p}和r{\displaystyle r}，根据否定后件律，如果若p{\displaystyle p}成立时出现r{\displaystyle r}，则r{\displaystyle r}为假时p{\displaystyle p}即为假。反证法在要证明p{\displaystyle p}时，透过显示出若p¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {p}}}成立时出现矛盾（q{\displaystyle q}和q¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {q}}}），即p¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {p}}}为假，从而证明p{\displaystyle p}为真。

例子

2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是无理数的证明（古希腊人）

证明：假设2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是有理数，那么就写成p/q的形式，且p,q互质。那么有 p=2{\displaystyle {\sqrt {2}}}×q p²=2×q² 可得p²是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式，得：q²=2s². 所以q²也是偶数，故可得q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。则假设不成立！因此2{\displaystyle {\sqrt {2}}}为无理数。

其他可用反证法证明的例子

证明有无限多个质数。

任意6人当中，求证或者有三人两两相识，或者有三人互不相识。

现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。

集合S={x:0

设n是大于1的整数，若所有小于或等于n{\displaystyle {\sqrt {n}}}的质数都不能整除n，则n是质数。

已知三角形ABC是锐角三角形，且∠A>∠B>∠C。求证：∠B>45。

已知a、b为正实数，求证：a+b2≥ ≥ -->ab{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}。

已知a、b、c、d是实数，且ad-bc=1，求证：a+b+c+d+ab+cd≠1。

引文

英国数学家高德菲·哈罗德·哈代在他的文章《一个数学家的辩白》描述：“欧几里得最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵甚至更多，但数学家却是牺牲整个棋局来获得胜利。”

相关条目

归谬法

进一步阅读

J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6

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