秦九韶招法

秦九韶在《数书九章》中多次使用二次插值法。

《数书九章》卷十三 《计造石坝》

《数书九章》卷三 《缀术推星》也使用自变数不等间二次内插法（招差）。 。

郭守敬王恂招差术

郭守敬和王恂在《授时历》中大量使用三次内插法，他称为“招差” 。王恂推广隋唐时代二次内插法为三次内插法（ 招差术 ），用以计算太阳盈缩，太阴迟疾的差分，定差，平差，立差，并归纳出平立定三差计算公式。

令 a 代表定差

令 b 代表平差

令 c 代表立差

令 k 代表初末限

朱世杰招差术

朱世杰《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式 ：

先求出上差（一次差），二差（二次差），三差（三次差）和下差（四次差），然后求出答案，是四次插值法（ 招差术 ）的运用

招兵累计数=

n ∗ ∗ --> a + 1 2 ∗ ∗ --> 1 ∗ ∗ --> n ∗ ∗ --> ( n − − --> 1 ) ∗ ∗ --> b + 1 3 ∗ ∗ --> 2 ∗ ∗ --> 1 ∗ ∗ --> n ∗ ∗ --> ( n − − --> 1 ) ∗ ∗ --> ( n − − --> 2 ) ∗ ∗ --> c {\displaystyle n*a+{\frac {1}{2*1}}*n*(n-1)*b+{\frac {1}{3*2*1}}*n*(n-1)*(n-2)*c}

+ 1 4 ∗ ∗ --> 3 ∗ ∗ --> 2 ∗ ∗ --> 1 n ∗ ∗ --> ( n − − --> 1 ) ∗ ∗ --> ( n − − --> 2 ) ∗ ∗ --> ( n − − --> 3 ) ∗ ∗ --> d {\displaystyle +{\frac {1}{4*3*2*1}}n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d} 。

其中

a=上差

b=二差

c=三差

d=下差

梅文鼎

清代数学家梅文鼎著有《平立定三差详说》，详解《授时历》的平定立三差法。

参考文献

来源

李俨. 《中算家电的内插法研究》. 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷二. 辽宁教育出版社. 1998. ISBN 978-7-538-24807-4.

孔国平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科学技术出版社. 2000. ISBN 978-7-537-51884-0.

朱世杰. 《四元玉鉴校证》. 李兆华 校证. 科学出版社. 2007. ISBN 978-7-030-20112-6.

吴文俊 主编 (编). 朱世杰的数学成就. 《中国数学史大系》 第六卷 第四编. : 206–280. ISBN 7-303-04927-4/O .

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