性质

当 a = b 时，曲面称为 旋转抛物面 ，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。

曲率

椭圆抛物面的参数方程为：

高斯曲率为：

平均曲率为：

它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。

双曲抛物面的参数方程为：

高斯曲率为：

平均曲率为：

乘法表

如果把双曲抛物面

顺着+ z 的方向旋转π/4的角度，则方程为：

如果 a = b {\displaystyle \ a=b} ，则简化为：

最后，设 a = 2 {\displaystyle a={\sqrt {2}}} ，我们可以看到双曲抛物面

与以下的曲面是全等的：

因此它可以视为乘法表的几何表示。

两个 R 2 → → --> R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } 函数

和

是调和共轭，它们在一起形成解析函数

它是 R → → --> R {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 函数 f ( x ) = 1 2 x 2 {\displaystyle \ f(x)={1 \over 2}x^{2}} 的解析延拓。

参见

椭球

双曲面

类球面

二次曲面

抛物面反射器

参考文献

Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.

Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.

Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.

Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.

Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.

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