拉梅方程的本征值

对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期。

拉梅函数

与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下：

其中2m,2m+1,2m+2{\displaystyle 2m,2m+1,2m+2}代表在（0,2K)区间内的零点数。

拉梅函数是Heun函数的特例

Heun方程 gh:=d2(y(z)dz2+(γ γ -->z+δ δ -->z− − -->1+ϵ ϵ -->z− − -->a)∗ ∗ -->d(y(z)dz+(α α -->∗ ∗ -->β β -->∗ ∗ -->z− − -->q)∗ ∗ -->y(z)/(z∗ ∗ -->(z− − -->1)∗ ∗ -->(z− − -->a))=0{\displaystyle gh:={\frac {d^{2}(y(z)}{dz^{2}}}+({\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}})*{\frac {d(y(z)}{dz}}+(\alpha *\beta *z-q)*y(z)/(z*(z-1)*(z-a))=0}

令=γ γ -->=1/2,δ δ -->=1/2,ϵ ϵ -->=1/2,q=− − -->(1/4)∗ ∗ -->a∗ ∗ -->h,α α -->=1/4,β β -->=− − -->v(v+1){\displaystyle \gamma =1/2,\delta =1/2,\epsilon =1/2,q=-(1/4)*a*h,\alpha =1/4,\beta =-v(v+1)}

则化为拉梅方程

d2(y(z)dz2+(1/2∗ ∗ -->(1/z+1/(z− − -->1)+1/(z− − -->a)))∗ ∗ -->d(y(z)dz+(1/4)∗ ∗ -->(a∗ ∗ -->h− − -->ν ν -->∗ ∗ -->(ν ν -->+1)∗ ∗ -->z)∗ ∗ -->y(z)/(z∗ ∗ -->(z− − -->1)∗ ∗ -->(z− − -->a))=0{\displaystyle {\frac {d^{2}(y(z)}{dz^{2}}}+(1/2*(1/z+1/(z-1)+1/(z-a)))*{\frac {d(y(z)}{dz}}+(1/4)*(a*h-\nu *(\nu +1)*z)*y(z)/(z*(z-1)*(z-a))=0}

拉梅方程的Heun函数解

由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示y(z)=C1∗ ∗ -->HeunG(a,− − -->(1/4)∗ ∗ -->a∗ ∗ -->h,− − -->(1/2)∗ ∗ -->ν ν -->,(1/2)∗ ∗ -->ν ν -->+1/2,1/2,1/2,z){\displaystyle y(z)=_{C}1*HeunG(a,-(1/4)*a*h,-(1/2)*\nu ,(1/2)*\nu +1/2,1/2,1/2,z)}

+C2∗ ∗ -->(z)∗ ∗ -->HeunG(a,1/4+(1/4∗ ∗ -->(− − -->h+1))∗ ∗ -->a,1+(1/2)∗ ∗ -->ν ν -->,1/2− − -->(1/2)∗ ∗ -->ν ν -->,3/2,1/2,z){\displaystyle +_{C}2*{\sqrt {(}}z)*HeunG(a,1/4+(1/4*(-h+1))*a,1+(1/2)*\nu ,1/2-(1/2)*\nu ,3/2,1/2,z)} 其中二个HeunG函数是线性无关的。

拉梅函数的幂级数展开

拉梅函数可以展开成幂级数形式

y(z)=∑ ∑ -->v=0∞ ∞ -->av∗ ∗ -->zρ ρ -->+v{\displaystyle y(z)=\sum _{v=0}^{\infty }a_{v}*z^{\rho +v}}

其中ρ ρ -->{\displaystyle \rho }只能取0,1/2{\displaystyle 0,1/2}

y(z)=1.2+2.3∗ ∗ -->(z)− − -->.600∗ ∗ -->h∗ ∗ -->z− − -->(.383∗ ∗ -->(a∗ ∗ -->h− − -->1.∗ ∗ -->a− − -->1.))∗ ∗ -->z(3/2)/a+(0.500e− − -->1∗ ∗ -->(− − -->4.∗ ∗ -->a∗ ∗ -->h− − -->4.∗ ∗ -->h+a∗ ∗ -->h2+2.∗ ∗ -->ν ν -->2+2.∗ ∗ -->ν ν -->))∗ ∗ -->z2/a+(0.192e− − -->1∗ ∗ -->(− − -->10.∗ ∗ -->a2∗ ∗ -->h+9.∗ ∗ -->a2+6.∗ ∗ -->a− − -->10.∗ ∗ -->a∗ ∗ -->h+9.+a2∗ ∗ -->h2+6.∗ ∗ -->ν ν -->∗ ∗ -->a+6.∗ ∗ -->ν ν -->2∗ ∗ -->a))∗ ∗ -->z(5/2)/a2+O(z3){\displaystyle y(z)={1.2+2.3*{\sqrt {(}}z)-.600*h*z-(.383*(a*h-1.*a-1.))*z^{(}3/2)/a+(0.500e-1*(-4.*a*h-4.*h+a*h^{2}+2.*\nu ^{2}+2.*\nu ))*z^{2}/a+(0.192e-1*(-10.*a^{2}*h+9.*a^{2}+6.*a-10.*a*h+9.+a^{2}*h^{2}+6.*\nu *a+6.*\nu ^{2}*a))*z^{(}5/2)/a^{2}+O(z^{3})}}

参考文献

王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000

Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920， Cambridge University Press

Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III

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