分类

根据分划中A{\displaystyle A}和A′{\displaystyle A"}是否有最大数、最小数，可以将分划分为三种类型：

A{\displaystyle A}中有最大数，A′{\displaystyle A"}中无最小数

A{\displaystyle A}中无最大数，A′{\displaystyle A"}中有最小数

A{\displaystyle A}中无最大数，A′{\displaystyle A"}中无最小数

可以证明，“A{\displaystyle A}中有最大数，A′{\displaystyle A"}中有最小数”的情况并不存在。

第3种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种"空隙"（A{\displaystyle A}和A′{\displaystyle A"}之间的界数），这个"空隙"所对应的数既不属于A{\displaystyle A}，也不属于A′{\displaystyle A"}，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的分划定义了一个无理数。

例子

将所有小于或等于0的有理数划分为集合A{\displaystyle A}，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合A′{\displaystyle A"}，则A|A′{\displaystyle A|A"}是一个分划，并属于上述分类中的第1种情形。

将所有小于0的有理数划分为集合A{\displaystyle A}，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合A′{\displaystyle A"}，则A|A′{\displaystyle A|A"}是一个分划，并属于上述分类中的第2种情形。

将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足∀ ∀ -->a∈ ∈ -->Q,a≤ ≤ -->0,a2≤ ≤ -->3{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ,a\leq 0,a^{2}\leq 3}的数）划分到集合A{\displaystyle A}，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合A′{\displaystyle A"}，则A|A′{\displaystyle A|A"}是一个分划，并属于上述分类中的第3种情形，此时分划A|A′{\displaystyle A|A"}定义了无理数3{\displaystyle {\sqrt[{}]{3}}}。

参阅

无理数

实数域的序

参考文献

微积分学教程，(第一卷)(第8版)，第5、6页，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥尔茨 著，杨弢亮 叶彦谦 译，郭思旭 校，高等教育出版社

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