定义

给定集合A，二元函数F: A×A→A称为集合A上的 二元运算 。给定集合A中两个元素a，b，则按顺序通常写为aFb。更多时候，二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。

可以看出，“集合A上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在A上封闭。

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

幺元

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，i∈A，则：

称i为A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 左幺元 ，若i满足：∀a∈A，i ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a = a；

称i为A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 右幺元 ，若i满足：∀a∈A，a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } i = a；

称i为A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 幺元 ，若i满足：i既是A在二元运算 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的左幺元，又是A在二元运算 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的右幺元。

逆元

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，a，b∈A，i是A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的幺元。则：

称a是b在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 左逆元 ，若a，b满足：a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } b=i。

称a是b在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 元 ，若a，b满足：b ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a=i。

称a是b在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 逆元 ，若a，b满足：a既是b在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 左逆元 ，又是b在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 元 。（显然此时b也是a的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素a的逆元通常记为 a − − --> 1 {\displaystyle a^{-1}} 。

零元

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，z∈A，则：

称z为A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 左零元 ，若z满足：∀a∈A，z ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a = z；

称z为A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 右零元 ，若z满足：∀a∈A，a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } z = z；

称z为A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 零元 ，若z满足：z既是A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的左零元，又是A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的右零元。

零因子

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，a∈A且a≠z，z是A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的零元。则：

称a是A中在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 左零因子 ，若a满足：∃b∈A，b≠z，使a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } b=z。

称a是A中在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 右零因子 ，若a满足：∃b∈A，b≠z，使b ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a=z。

称a为A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的 零因子 ，若a满足：a既是A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的左零因子，又是A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的右零因子。

交换律

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，则： 称 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足 交换律 ，若 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足：∀a，b∈A，a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } b = b ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a；

结合律

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，则： 称 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足 结合律 ，若 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足：∀a，b，c∈A，(a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } b) ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } c = a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } (b ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } c)；

幂等律

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，则： 称 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足 幂等律 ，若 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足：∀a∈A，a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a = a；

幂幺律

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，则： 设i是A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的幺元。称 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足 幂幺律 ，若 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足：∀a∈A，a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a = i；（显然此时每个元素都是它自己的逆元）。

幂零律

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A是集合A上的二元运算，z是A在 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 下的零元，则： 称 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足 幂零律 ，若 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 满足：∀a∈A，有a*a = z；（显然此时每个元素都是零元，而且既是左零元又是右零元）。

分配律

设 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } : A×A→A和◇: A×A→A是集合A上的两个二元运算，则：

称 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 对◇满足 左分配律 ，若 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } ，◇满足：∀a，b，c∈A，有a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } (b◇c)=a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } b◇a ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } c；

称 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 对◇满足 右分配律 ，若 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } ，◇满足：∀a，b，c∈A，有(b◇c) ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a=b ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a◇c ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } a；

称 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 对◇满足 分配律 ，若 ∘ ∘ --> {\displaystyle \circ } 对◇满足左分配律以及右分配律；

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