简单力偶

最简单的力偶是由两个大小相同、方向相反、作用线相异的作用力组成，又称为“简单力偶”。与作用力同线的直线称为这作用力的“作用线”。作用于物体，力偶会给与物体一种旋转效应或力偶矩。采用国际单位制，力偶的单位是牛顿 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 米。

假设施加于一物体的两个作用线相异的作用力分别为 F {\displaystyle \mathbf {F} \,} 、 − − --> F {\displaystyle -\mathbf {F} \,} ，则其力偶矩 τ τ --> {\displaystyle \tau \,} 的大小，以方程表达为

其中， d {\displaystyle d\,} 是两个作用力之间的垂直距离。

力偶矩 τ τ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,} 的方向垂直于包含这力偶的平面。

假设，两个大小相等，方向相反的作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 与 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} ， 分别施加于一个物体的位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 与 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} ，则合力等于零：

而所产生的力矩 M {\displaystyle \mathbf {M} \,} 以方程表达为

其中， r 12 = r 1 − − --> r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\,} 是两个位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 与 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} 之间的相对位置。

特别注意，由于 r 12 {\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,} 是相对位置，不随参考点的改变而改变，从物体上任何参考点观测的力偶矩 M {\displaystyle \mathbf {M} \,} 都相等。因此，力偶矩是个自由矢量，作用于物体的任何一点，效果都一样。

力偶矩与参考点无关

在计算作用力的力矩时，必须先选择某参考点P，然后才能计算作用力对于参考点P的力矩。通常，若参考点P的位置改变，力矩也会改变。但是，力偶的力偶矩独立于参考点P，对于任意参考点，力偶矩都相同。换句话说，力偶矩是一个自由矢量。这理论称为 伐里农第二力矩定理 ( Varignon"s Second Moment Theorem ) 。

证明：

假设分别施加于位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 、 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} 的作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} ，共同形成一个力偶，则这两个作用力的合力为

这两个作用力对于原点O的力矩 M O {\displaystyle \mathbf {M} _{O}\,} 为

设定参考点P的位置为 r {\displaystyle \mathbf {r} \,} 。作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} 对于点P的力矩 M P {\displaystyle \mathbf {M} _{P}\,} 为

所以，力偶矩与参考点无关：

应用

在机械工程学里，力偶是个很有用的概念。以下列出几个实例：

当用手扭转螺丝起子时，螺丝起子会感受到力偶。

当用螺丝起子扭转螺丝钉时，螺丝钉会感受到力偶。

一个在水里旋转的螺旋桨推进器，会感受到由水阻力产生的力偶。

在一个均匀电场里，电偶极子会感受到电场的力偶。

参考文献

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