椭圆

一个椭圆的长轴是内部最长的直径，他会通过中心和两个焦点，末端结束于型状最宽处的点。半长轴是长轴的一半，始于中心点经过一个焦点并终结于椭圆的边界。在圆型的特殊状况下，半长轴就是半径。

半长轴的长度 a {\displaystyle a\!} 与半短轴 b {\displaystyle b\,\!} 的关系可以经由离心率 e {\displaystyle e\,\!} 和半正焦弦 ℓ ℓ --> {\displaystyle \ell \,\!} 推导如下：

抛物线可以被视为是椭圆的极限，将一个焦点固定，而另一个焦点被随意的移至无穷远处的方向上，但 ℓ ℓ --> {\displaystyle \ell \,\!} 仍保持不变。因此 a {\displaystyle a\,\!} 和 b {\displaystyle b\,\!} 趋于无限大， a {\displaystyle a\,\!} 仍比 b {\displaystyle b\,\!} 长。

半长轴是椭圆的一个焦点至边界的最大距离和最小距离的平均值。现在考虑在极座标中的方程式，其中一个焦点位于原点，另一个焦点在 x 轴上，

均值由 r = ℓ ℓ --> 1 + e {\displaystyle r={\ell \over {1+e}}\,\!} 和 r = ℓ ℓ --> 1 − − --> e {\displaystyle r={\ell \over {1-e}}\,\!} ，是 a = ℓ ℓ --> 1 − − --> e 2 {\displaystyle a={\ell \over {1-e^{2}}}\,\!} .

双曲线（又称半实轴）

双曲线的半长轴是两个分支之间距离的一半。如果 a 是在X-轴的方向上，则方程式可以表示为：

( x − − --> h ) 2 a 2 − − --> ( y − − --> k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

在这个项目中的半正焦弦和离心率如下：

a = ℓ ℓ --> e 2 − − --> 1 {\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}}

双曲线的 横轴 延伸方向与半长轴的方向一致 。

天文学

轨道周期

在太空动力学，以圆或椭圆轨道环绕中心天体运转的小天体的轨道周期 T {\displaystyle T} ，是：

此处：

无论离心率是如何，半长轴相同的椭圆都有相同的轨道周期。

在天文学，是轨道的轨道元素中最重要的，他决定了轨道周期。对太阳系内的天体，半长轴与轨道周期的关系由开普勒第三定律（原本只是经验公式）来描述：

此处 T 是周期，单位为年； a 是半长轴，单位为AU。这个形式就是牛顿的二体问题简化后的形式：

此处 G 是重力常数， M 是中心天体的质量，而 m 是轨道上天体的质量。通常，当中心天体的值量远大于环绕的天体时， m 的质量可以忽略不计。座著这样的假设和简化之后，开普勒发现的以天文单位简化的形式就出现了。

值得注意的是，在轨道上的天体和主要的天体环绕着质心运动的路径都是椭圆形。在天文学上的半长径总是主、伴两星之间的距离，因此行星的轨道参数都是以太阳为中心的项目。在"主体为中心"和"绝对"轨道之间的差别通过对地月系统的认是说明可以有更清楚的认识。质量的比是81.30059，地心的月球轨道半长轴是384,400公里；另一方面，"质心"的月球轨道半长轴是379,700公里，两著的差别是4,700公里。月球相对于质心的平均轨道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，两者之和是1.022公里/秒；同样的，以地心的半长轴得到的月球轨道速度也是1.022公里/秒。

平均距离

经常会说半长轴是主伴两天体的平均距离，其实这样说是不够精确的，这与如何取得平均值有关。

对偏近点角（q.v.）的平均距离的确就是半长轴。

对真近点角（从焦点上测量的真实轨道角度）的结果，说也奇怪，是轨道半短轴： b = a 1 − − --> e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!} 。

最后，是对平近点角（以角度表示，经过近心点之后所经历轨道周期的分数），是对时间的平均数（通常是对门外汉所谓的"平均"）： a ( 1 + e 2 2 ) {\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!} 。

椭圆的平均半径，是以几何上的中心来测量的，其值为 a b = a 1 − − --> e 2 4 {\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}\,\!} 。

时间的平均值与半径成反比， r − − --> 1 {\displaystyle r^{-1}\,\!} ，是 a − − --> 1 {\displaystyle a^{-1}\,\!} 。

能量：由状态向量的半长轴计算

在太空动力学 半长轴 a {\displaystyle a} ，可以从轨道状态向量得到：

a = − − --> μ μ --> 2 ϵ ϵ --> {\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}} ，（椭圆轨道）

和

a = μ μ --> 2 ϵ ϵ --> {\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}} ，（双曲线弹道）

和

ϵ ϵ --> = v 2 2 − − --> μ μ --> | r | {\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}} (特殊轨道能量）

和

μ μ --> = G M {\displaystyle \mu =GM} ，（标准重力参数），

此处：

v {\displaystyle v} ，是从速度向量得到的轨道上物体的轨道速度，

r {\displaystyle \mathbf {r} } ，是在迪卡儿的参考座标系上相对于位置向量用于计算的轨道元素（即，对环绕地球的物体是以地球中心和赤道为基准，或对环绕太阳的天体是以太阳中心和黄道为基准)，

G {\displaystyle G} ，是重力常数，

M {\displaystyle M} ，是中心天体的质量。

要注意的是，对特定的中心天体和总比能，无论离心率是多少，半长轴是一个定值。换言之，对特定的一个中心天体和半长轴，则具有的总比能是一定的。

例子

国际太空站（ International Space Station，ISS ）的轨道周期是91.74分，它的轨道半长轴是6,738公里[1]。Every minute more corresponds to ca. 50 km more: the extra 300 km of orbit length takes 40 seconds, the lower speed accounts for an additional 20 seconds.

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