可逆元群

R {\displaystyle R\,} 的可逆元组成了一于乘法下的群 U ( R ) {\displaystyle U(R)\,} ，称做 R {\displaystyle R\,} 的 可逆元群 。可逆元群 U ( R )有时亦被标记成 R 或 R 。

在一可交换单作环 R 内，可逆元群 U ( R )以乘法作用于 R 上头。此一作用的轨道(orbit)被称为 结合 集合；换句话说，存在一于 R 上的等价关系~ ，且当 r ~ s 时，表示存在一可逆元 u 使得 r = us 。

U 是一由环范畴至群范畴的函子：每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态 U ( f ) : U ( R ) → U ( S )，当 f 会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。

一个环 R 是一个除环当且仅当 R = R \ {0}。

例子

在整数环 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 里，可逆元为±1。其每一轨道内都有两个元素 n 和− n 。

任一单位根均是某一单作环 R {\displaystyle R} 内的可逆元。（若 r {\displaystyle r} 是一单位根，且 r n = 1 {\displaystyle r^{n}=1} ，则 r − − --> 1 = r n − − --> 1 {\displaystyle r^{-1}=r^{n-1}} 亦为 R {\displaystyle R} 的元素）。

在代数数论里，狄利克雷单位定理证明了许多代数整数环内可逆元的存在域。例如，在环 Z ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {5}})} ， ( 5 + 2 ) ( 5 − − --> 2 ) = 1 {\displaystyle ({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1} ，因此 ( 5 + 2 ) , ( 5 − − --> 2 ) = 1 {\displaystyle ({\sqrt {5}}+2),({\sqrt {5}}-2)=1} 都是可逆元。

在环 M ( n , F ) {\displaystyle M(n,F)} ，于一体 F {\displaystyle F} 上的 n × × --> n {\displaystyle n\times n} 矩阵内，其可逆元恰好就是可逆矩阵。

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