拓扑和光滑结构

切丛带有一个自然的拓扑（不是不交并拓扑（disjoint union topology））以及微分结构，使得它自己成为一个流形。T(M)的维数是M的两倍。

每个n维向量空间的切空间是一个n维向量空间。那么作为一个集合，T(M)和M × R同构。但作为一个流形，T(M)并不总是和积流形M × R微分同胚。这在切丛是平凡的时候是真的。就象流形局部由欧几里得空间构造一样，切丛局部构造在M × R上。

若M是一个n维流形，则它有一个图册（Uα, φα）其中Uα是M中开集而

是一个同胚。U上的这些局部坐标对于每个x ∈ U给出了TxM和R之间的一个同构。我们然后可以定义一个映射

这是通过下式完成的

我们用这些映射来定义T(M)上的拓扑和光滑结构。T(M)的子集A是开的当且仅当对于每个α，ϕ ϕ -->~ ~ -->α α -->(A∩ ∩ -->Uα α -->){\displaystyle {\tilde {\phi }}_{\alpha }(A\cap U_{\alpha })}在R中是开的。这样这些映射是T(M)的开子集和R的同胚，所以可以作为T(M)的光滑结构的坐标图。坐标图定义域的交集π π -->− − -->1(Uα α -->∩ ∩ -->Uβ β -->){\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}上的变换函数用相关的坐标变换的雅可比矩阵引出，所以是R的开子集间的光滑映射。

切丛是称为向量丛（自己是纤维丛的特例）的更一般的构造的特例。直接一点的说，n维流形M的切丛可以定义为一个M上的n阶向量丛，其变换函数由相应的坐标变换的雅可比矩阵给出。

向量场

向量场是切丛的截面。

局部向量场

局部向量场是切丛的局部截面。

向量场的层

所有局部向量场的集合构成一个层（sheaf）。

参见

余切丛

测地线

李导数

微分形式

参考

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2

Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X

Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.

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