定义

设p和q为两个多项式，次数分别为m和n。因此：

于是，与p和q相关的西尔维斯特矩阵，就是通过以下方法得到的矩阵 ( n + m ) × × --> ( n + m ) {\displaystyle (n+m)\times (n+m)} ：

第一行为：

第二行是第一行往右移一列；第二行第一列的元素是零。

下面的(n-2)行也是用这种方法得出，每次都往右移一列。

第(n+1)行为：

余下的行仍然是每次都往右移一列。

因此，如果我们设m=4和n=3，则矩阵为：

应用

西尔维斯特矩阵用于交换代数中，例如测试两个多项式是否有一个（非常数）公因式。确实，在这种情况下，相关的西尔维斯特矩阵的行列式（称为两个多项式的结式）等于零。反过来也成立。

以下线性方程组的解

其中 x {\displaystyle x} 是大小为 n {\displaystyle n} 的向量， y {\displaystyle y} 是大小为 m {\displaystyle m} 的向量，由满足下式的多项式对 x , y {\displaystyle x,y} （次数分别为 n − − --> 1 {\displaystyle n-1} 和 m − − --> 1 {\displaystyle m-1} ）的系数向量构成：

这就是说，西尔维斯特矩阵的转置的核给出了裴蜀方程的所有解，其中 deg ⁡ ⁡ --> x q {\displaystyle \deg x 且 deg ⁡ ⁡ --> y p {\displaystyle \deg y 。

这样，西尔维斯特矩阵的秩决定了 p {\displaystyle p} 和 q {\displaystyle q} 的最大公因式的次数：

参考文献

MathWorld上Sylvester Matrix的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。

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