数学定义

如果 X 是在概率空间（Ω, P ）中的随机变量，那么它的期望值E[ X ]的定义是：

并不是每一个随机变量都有期望值的，因为有的时候这个积分不存在。

如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望值也相同。

如果 X 是 离散 的随机变量，输出值为 x 1 , x 2 , ...， 和输出值相应的概率为 p 1 , p 2 , ...（概率和为1）。

若 级数 ∑ ∑ --> i ⁡ ⁡ --> p i x i {\displaystyle \operatorname {\sum } _{i}p_{i}x_{i}} "绝对收敛 ，那么期望值E[ X ]是一个无限数列的和。

上面赌博的例子就是用这种方法求出期望值的。如果 X 是 连续 的随机变量，存在一个相应的概率密度函数 f （ x ）， 若 积分 ∫ ∫ --> − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> x f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx} 绝对收敛 ，那么 X 的期望值可以计算为：

是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望值的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。

性质

期望值 E 是线性函数。

一般的说，一个随机变量的函数的期望值并不等于这个随机变量的期望值的函数。

在 一般情况下 ，两个随机变量的 积的期望值不等于这两个随机变量的期望值的积 。

期望值的运用

在统计学中，当估算变量的期望值时，经常用到的方法是重复测量此变量的值，然后用所得数据的平均值来作为此变量的期望值的估计。

在概率分布中，期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。

在古典力学中，物体重心的算法与期望值的算法十分近似。

期望值也可以通过方差计算公式来计算方差

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