解决四次方程

自然，人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它多项式，有时可能对一个四次方程分解出因式；但更多的时候这样的工作是极困难的，尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个通式解法或运算法则（就像二次方程那样， 能解所有的一元二次方程）是很有用的。经过很多努力之后，人们终于找到了一个可以解出任何四次方程的运算法则；不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明，这样的一种方法在五次方程这里止步了；也就是说，四次方程是次数最高的一种方程，它的解可以通过一个运算法则，由方程未知数前的系数给出。对于五次方程以上的方程，人们就需要一种更为有效的方法寻找方程的代数解，如同对于五次方程以下的方程所做的那样。

由于四次方程的复杂性（参见下文），求解公式并不经常被使用。如果只要求求解有理实根，可以通过（对于任意次数的多项式都为真）试错法，或是使用鲁菲尼法则（只要所给的多项式的系数都是有理的）求出。到了计算机时代，通过牛顿法，人们可以使用数值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精确地解出，你可以参见下文关于方法的概述。

求根公式

a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle {ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq 0}}

x 1 = − − --> b 4 a + 1 2 b 2 4 a 2 − − --> 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − − --> 1 2 b 2 2 a 2 − − --> 4 c 3 a − − --> 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 − − --> 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + − − --> b 3 + 4 a b c − − --> 8 a 2 d 4 a 3 b 2 4 a 2 − − --> 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle {x_{1}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(c^{2}-3bd+12ae\right)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}

x 2 = − − --> b 4 a + 1 2 b 2 4 a 2 − − --> 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + 1 2 b 2 2 a 2 − − --> 4 c 3 a − − --> 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 − − --> 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + − − --> b 3 + 4 a b c − − --> 8 a 2 d 4 a 3 b 2 4 a 2 − − --> 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle {x_{2}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}

x 3 = − − --> b 4 a − − --> 1 2 b 2 4 a 2 − − --> 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − − --> 1 2 b 2 2 a 2 − − --> 4 c 3 a − − --> 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 − − --> 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − − --> − − --> b 3 + 4 a b c − − --> 8 a 2 d 4 a 3 b 2 4 a 2 − − --> 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle {x_{3}=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}-{\frac {-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}

x 4 = − − --> b 4 a − − --> 1 2 b 2 4 a 2 − − --> 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + 1 2 b 2 2 a 2 − − --> 4 c 3 a − − --> 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 − − --> 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − − --> − − --> b 3 + 4 a b c − − --> 8 a 2 d 4 a 3 b 2 4 a 2 − − --> 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e + ( 2 c 3 − − --> 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − − --> 72 a c e ) 2 − − --> 4 ( c 2 − − --> 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle {x_{4}=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}-{\frac {-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd+12ae\right)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}

Δ Δ --> = 256 a 3 e 3 − − --> 192 a 2 b d e 2 − − --> 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − − --> 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − − --> 6 a b 2 d 2 e − − --> 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − − --> 4 a c 3 d 2 − − --> 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − − --> 4 b 3 d 3 − − --> 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\Delta =256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}}}

特殊情况

名义上的四次方程

如果 e = 0 {\displaystyle e=0\,} ，那么其中一个根为 x = 0 {\displaystyle x=0\,} ，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程,

双二次方程

四次方程式中若 b {\displaystyle b\ } 和 d {\displaystyle d\ } 均为 0 {\displaystyle 0\ } 者有下列形态：

因此它是一个 双二次方程式 。解双二次方程式非常容易，只要设 z = x 2 {\displaystyle z=x^{2}\,} ，我们的方程式便成为：

这是一个简单的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式来解：

当我们求得 z 的值以后，便可以从中得到 x {\displaystyle x\,} 的值：

若任何一个 z {\displaystyle z\,} 的值为负数或复数，那么一些 x {\displaystyle x\,} 的值便是复数。

一般情况，沿着费拉里的路线

开始时，四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

转变成减少次数的四次方程

要让以下四次方程式变成标准的四次方程式，先在等式两边分别除以 a {\displaystyle a\,}

第一步：消除 x 3 {\displaystyle x^{3}\,} 列。为了做到这一步，先把变量 x {\displaystyle x\,} 变成 u {\displaystyle u\,} ，其中

将变量替换： ( u − − --> b 4 a ) 4 + b a ( u − − --> b 4 a ) 3 + c a ( u − − --> b 4 a ) 2 + d a ( u − − --> b 4 a ) + e a = 0. {\displaystyle \left(u-{b \over 4a}\right)^{4}+{b \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{3}+{c \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{2}+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.}

展开后变成： ( u 4 − − --> b a u 3 + 6 u 2 b 2 16 a 2 − − --> 4 u b 3 64 a 3 + b 4 256 a 4 ) + b a ( u 3 − − --> 3 u 2 b 4 a + 3 u b 2 16 a 2 − − --> b 3 64 a 3 ) + c a ( u 2 − − --> u b 2 a + b 2 16 a 2 ) + d a ( u − − --> b 4 a ) + e a . {\displaystyle \left(u^{4}-{b \over a}u^{3}+{6u^{2}b^{2} \over 16a^{2}}-{4ub^{3} \over 64a^{3}}+{b^{4} \over 256a^{4}}\right)+{b \over a}\left(u^{3}-{3u^{2}b \over 4a}+{3ub^{2} \over 16a^{2}}-{b^{3} \over 64a^{3}}\right)+{c \over a}\left(u^{2}-{ub \over 2a}+{b^{2} \over 16a^{2}}\right)+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}.}

整理后变成以u为变量的表达式

现在改变表达式的系数，为

结果就是我们期望的低级四次方程式，为

如果 β β --> = 0 {\displaystyle \beta =0\,} 那么等式就变成了双二次方程式，更加容易解决（解释上面）；利用反向替代，我们可以获得我们要解决的变量 x {\displaystyle x\,} 的值.

费拉里的解法

这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的，然而，这种方式曾经被发现过。接下来，利用一个恒等式

从方程 (1)和上式，得出：

结果把 u 4 {\displaystyle u^{4}\,} 配成了完全平方式： ( u 2 + α α --> ) 2 {\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}\,} 。左式中， α α --> u 2 {\displaystyle \alpha u^{2}\,} 并不出现，但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程 ( 2 ) {\displaystyle \left(2\right)\,} 左边的完全平方中插入变量 y {\displaystyle y\,} ，相应地在右边插入一项 2 y {\displaystyle 2y\,} 。根据恒等式

及

与等式(2)相加，得

也就是

现在我们需要寻找一个 y {\displaystyle y\,} 值，使得方程 ( 3 ) {\displaystyle \left(3\right)\,} 的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此，首先展开完全平方式为二次式：

右边的二次式有三个系数。可以验证，把第二项系数平方，再减去第一与第三项系数之积的四倍，可得到零：

因此，为了使方程(3)的右边为完全平方，我们必须解出下列方程：

把二项式与多项式相乘，

这是关于 y {\displaystyle y\,} 的三次方程。两边除以 2 {\displaystyle 2\,} ，

转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程

方程 ( 4 ) {\displaystyle \left(4\right)\,} 是嵌套的三次方程。为了解方程 ( 4 ) {\displaystyle \left(4\right)\,} ，我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程：

方程 ( 4 ) {\displaystyle \left(4\right)\,} 变为

展开，得

合并同类项，得

这是嵌套的三次方程。

记

则此三次方程变为

解嵌套的降低次数的三次方程

方程 ( 5 ) {\displaystyle \left(5\right)\,} 的解(三个解中任何一个都可以)为

则原来的嵌套三次方程的解为

配成完全平方项

y {\displaystyle y\,} 的值已由 ( 6 ) {\displaystyle \left(6\right)\,} 式给定，现在知道等式 ( 3 ) {\displaystyle \left(3\right)\,} 的右边是完全平方的形式

从而它可分解因式为：

因此方程 ( 3 ) {\displaystyle \left(3\right)\,} 化为

等式 ( 7 ) {\displaystyle \left(7\right)\,} 两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等，则两平方式的因子也相等，即有下式：

对 u {\displaystyle u\,} 合并同类项，得

方程 ( 8 ) {\displaystyle \left(8\right)\,} 是关于 u {\displaystyle u\,} 的二次方程。其解为

化简，得

这就是降低次数的四次方程的解，因此原来的四次方程的解为

费拉里方法的概要

给定一个四次方程

其解可用如下方法求出：

此即所求。

还有解四次方程的其他方法，或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是

它已经化为简约的形式。它有一对解，可由上面给出的公式得到。

另一种的计算方式

此四次方程是下列两个二次方程之积：

以及

由于

因此

设

则方程 ( 9 ) {\displaystyle \left(9\right)\,} 变为

同时有(未知的)变量 w {\displaystyle w\,} 和 v {\displaystyle v\,} 使方程 ( 10 ) {\displaystyle \left(10\right)\,} 变为

方程 ( 11 ) {\displaystyle \left(11\right)\,} 与 ( 12 ) {\displaystyle \left(12\right)\,} 相乘，得

把方程 ( 13 ) {\displaystyle \left(13\right)\,} 与原来的二次方程比较，可知

及

因此

方程 ( 12 ) {\displaystyle \left(12\right)\,} 的解为

这两个解中的一个应是所求的实解。

其它方法

化为双二次方程

一个例子可见双二次方程。

埃瓦里斯特·伽罗瓦的理论和因式分解

参见

费拉里

卡尔达诺

文献

Ferrari"s achievement

四次方程的求根公式

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