法线的计算

对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程 a x + b y + c z = d {\displaystyle ax+by+cz=d} 表示的平面，向量 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 就是其法线。

如果 S 是曲线坐标 x ( s , t )表示的曲面，其中 s 及 t 是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为

如果曲面 S 用隐函数表示，点集合 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 满足 F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} ，那么在点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 处的曲面法线用梯度表示为

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

法线的唯一性

曲面（surface）上的法线向量场（vector field of normals）

曲面法线的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三维的边界（topological boundary）内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法（unique way）。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。

法线的变换

变换矩阵可以用来变换多边形，也可以变换多边形表面的切向量（tangent vector）。 设 n′ 为 W n 。我们必须发现 W 。

W n 垂直（perpendicular）于 M t

很明白的选定 W s.t. W T M = I {\displaystyle W^{T}M=I} , 或 W = M − − --> 1 T {\displaystyle W={M^{-1}}^{T}} 将可以满足上列的方程式，按需求，再以 W n {\displaystyle Wn} 垂直于（perpendicular） M t {\displaystyle Mt} , 或一个 n′ 垂直于 t′ 。

应用

曲面法线在定义向量场的曲面积分中有着重要应用。

在三维计算机图形学中通常使用曲面法线进行光照计算；参见Lambert"s cosine law。

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