描述

假设 X {\displaystyle X} 是呈正态分布的独立的随机变量（随机变量的期望值是 μ μ --> {\displaystyle \mu } ，方差是 σ σ --> 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 但未知）。 令：

为 样本均值 。

为 样本方差 。

它显示了数量

呈正态分布并且均值和方差分别为0和1。

另一个相关数量

T 的概率密度函数是：

ν ν --> {\displaystyle \nu } 等于 n − 1。 T 的分布称为 t -分布 。参数 ν ν --> {\displaystyle \nu } 一般被称为自由度。

Γ Γ --> {\displaystyle \Gamma } 是伽玛函数。 如果 ν ν --> {\displaystyle \nu } 是偶数,

如果 ν ν --> {\displaystyle \nu } 是奇数,

T 的概率密度函数的形状类似于均值为0方差为1的正态分布，但更低更宽。随着自由度 ν ν --> {\displaystyle \nu } 的增加，则越来越接近均值为0方差为1的正态分布。

T 分布的概率累计函数，用不完全贝塔函数 I 表示：

其中

T 分布的矩为：

学生 t -分布置信区间的推导

假设数量 A 在当 T 呈 t -分布（ T 的自由度为 n − 1）满足

这与

A 是这个概率分布的第95个百分点

那么

等价于

因此μ的90%置信区间为：

计算

现在最方便的计算T分布的办法是使用电子表格软件（如Excel）或查相关在线计算网站。例如，Excel的TDIST(x,v,sides)用来计算自由度为v的T分布，如果第三个参数为1，则给出Pr(T>x)；如果第三个参数为2，则计算Pr(T>x Or T

下表列出了自由度为 ν ν --> {\displaystyle \nu } 的 t- 分布的单侧和双侧区间值。例如，当样本数量n=5时，则自由度 ν ν --> {\displaystyle \nu } =4，我们就可以查找表中以4开头的行。该行第5列值为2.132，对应的 单侧 值为95%（ 双侧 值为90%）。这也就是说，T小于2.132的概率为95%（即单侧），记为Pr(−∞ T T

这是根据分布的对称性计算得到的，

因此，

注意 关于表格的最后一行的值：自由度为无限大的 t- 分布和正态分布等价。

范例

给定一个样本：样本均值和方差分别为10和2，样本大小为11（自由度为10）。根据公式：

可知，使用该方法统计出来的最大值，平均有90%的概率（即90%置信度/信心水准/confidence level）低于：

同理，使用该方法统计出来的最小值，平均有90%的概率（即90%置信度/信心水准/confidence level）高于：

因此，使用该方法统计出来的最大值和最小值，平均有80%的概率介于：

两值之间。注意，这并不是说，数据的真正均值介于这两个值之间的概率为80%。详情请参考置信区间。

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