初等代数定律

加法是一可交换的运算(两个数不论顺序为何，它加起来的总和都一样)。

乘法是一可交换的运算。

幂不是一可交换的运算。

加法的结合律性质：(a+b)+c=a+(b+c){\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}。

乘法的结合律性质：(ab)c=a(bc).{\displaystyle (ab)c=a(bc).}。

对应加法的乘法分配律性质：c(a+b)=ca+cb{\displaystyle c(a+b)=ca+cb}。

对应乘法的幂分配律性质：(ab)c=acbc{\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}}。

幂的乘法：abac=ab+c{\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}}。

幂的幂：(ab)c=abc{\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}}。

等于的定律

若a=b{\displaystyle a=b}且b=c{\displaystyle b=c}，则a=c{\displaystyle a=c} (等于的递移律)。

a=a{\displaystyle a=a} (等于的自反性)。

若a=b{\displaystyle a=b}，则b=a{\displaystyle b=a} (等于的对称性)。

若a− − -->b=n{\displaystyle a-b=n}，则a2− − -->b2=na+nb{\displaystyle a^{2}-b^{2}=na+nb}。

其他定律

若a=b{\displaystyle a=b}且c=d{\displaystyle c=d}，则a+c=b+d{\displaystyle a+c=b+d}。

若a=b{\displaystyle a=b}且c=d{\displaystyle c=d}，则ac{\displaystyle ac} = bd{\displaystyle bd}。

若两个符号相等，则一个总是能替换另一个(替换原理)。

若a>b{\displaystyle a>b}且b>c{\displaystyle b>c}，则a>c{\displaystyle a>c} (不等式的递移律)。

若a>b{\displaystyle a>b}，则对任一c，a+c>b+c{\displaystyle a+c>b+c}。

若a>b{\displaystyle a>b}且c>0{\displaystyle c>0}，则ac>bc{\displaystyle ac>bc}。

若a>b{\displaystyle a>b}且c<0{\displaystyle c<0}，则ac<bc{\displaystyle ac。

例子

一元一次方程

最简单的方程为一元一次方程，它们是含有一个常数和一没有幂的变数。例如：

其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除，以使变数单独留在等式的一侧。一旦变数独立了，等式的另一边即是此变数的值。例如，将上面式子两边同时减去4：

简化后即为

再同时除以2：

再简化后即为答案：

一般的情形

也可以依同样的方式得出答案来：

一元二次方程

一元二次方程可以表现成ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}在这a不等于零(假如a等于零,则此方式为一次方程式而非二次方程式).二次方程式必须保持二次的形态，如 ax2,{\displaystyle ax^{2},}. 二次方程式可以通过因式分解求解(多项式展开的逆过程)，或者一般地使用二次方程公式。因式分解的举例:

这相当于:

0和-3是它的解，因为把x置为0或-3便使上述等式成立。 所有二次方程式在复数体系中都有两个解，但是在实数系统中却不一定，例如:

没有实数解，因为没有实数的平方是-1。 有时一个二次方程式会有2重根，例如：

在这个方程中，-1是2重根。

线性方程组

在线性方程组内，如两个变数的方程组内有两个方程式的话，通常可以找出可同时满足两个方程式的两个变数。

下面为线性方程组的一个例子，有两个求解的方法：

求解的第一种方法

将第2个等式的左右项各乘以2，

再将两式相加，

上式可化简为

因为已知x = 2，于是就可以由两式中的任意一个推断出y = 3。所以这个问题的完整解为

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；y也可以在x之前求得。

求解的第二种方法

另一种求解的方法为替代。

y的等值可以由两个方程式中的其中一种推出。我们使用第二个方程：

由方程的两边减去 2x：

再乘上 -1：

将此y值放入原方程组的第一个方程式：

在方程的两端加上 2：

此可简化成

将此值代回两个方程式中的一个，可求得和上一个方法所求得的相同解答。

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；在这个方法里也是一样的，y也可以在x之前求得。

另见

等量公理

代数

算术

二元运算

高斯消去法

数学教育

数线

多项式

参考

Charles Smith, A Treatise on Algebra, inCornell University Library Historical Math Monographs.

Beginning Algebra Tutorials and Reviewsfor basic algebra review and practice..

Feferman, Anita Burdman and Solomon Feferman (1990) "Alfred Tarski- Life and Logic." Cambridge University Press. p.74-76. ISBN 0-521-80240-7.

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