符号

空集符号源自北欧拉丁字母，不是希腊字母。

空集的标准符号由尼古拉·布尔巴基小组创造，写作 ∅ （ ∅ ∅ --> {\displaystyle \varnothing } ），首先见于他们在1939年出版的《数学原本卷一：集合论》（ Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats ）。这符号也可写作 ∅ ∅ --> {\displaystyle \emptyset } ，有时候采用近似字符“ Ø ”，也可以使用大括号 { } {\displaystyle \{\;\}} 表示。

这符号源自北欧语言的拉丁字母“ Ø ”，但常被误会为希腊字母“ φ ”。（ φ 有两个写法：小写的 φ φ --> {\displaystyle \varphi } 和缩小了的大写 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi \,} ，后者常被误用为空集符号。 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi \,} 的中间为一长竖，中间的圈也较小，与 ∅ ∅ --> {\displaystyle \varnothing } 的斜线和大圆不同。）。

提出用北欧字母为符号的，是布尔巴基小组成员安德烈·韦伊。他在自传写道：

空集符号∅的Unicode编码为U+2205，TeX代码是 \emptyset 或 \varnothing （后者是AMS符号，很多人较喜欢后者的字形 ）。

性质

（这里采用数学符号）。

对任意集合 A ，空集是 A 的子集； ∀ A : ∅ ⊆ A

对任意集合 A ，空集和 A 的并集为 A ： ∀ A : A ∪ ∅ = A

对任意集合 A ，空集和 A 的交集为空集： ∀ A : A ∩ ∅ = ∅

对任意集合 A ，空集和 A 的笛卡尔积为空集： ∀ A : A ×∅ = ∅

空集的唯一子集是空集本身： ∀ A : A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

空集的幂集是仅包含空集的集合： 2 = {∅}

空集的元素个数（即它的势）为零；特别是，空集是有限的： Card (∅) = 0

集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。

考虑空集为实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是紧致集合，因为凡有限集合都是紧致的。

空集的闭包是空集。

空集和0

根据定义，空集有0个元素，或者称其势为0。然而，这两者的关系可能更进一步：在标准的自然数的集合论定义中，0被 定义 为空集。

常见问题

空集不是 无 ；它是 内部 没有元素的集合，而集合就是 有 。这通常是初学者的一个难点。将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的。

有些人会想不通上述第一条性质，即空集是任意集合 A 的子集。按照子集的定义，这条性质是说 {} 的 每个 元素 x 都属于 A 。若这条性质不为真，那 {} 中至少有一个元素不在 A 中。由于 {} 中 没有 元素，也就没有 {} 的元素不属于 A 了，得到 {} 的每个元素都属于 A ，即 {} 是 A 的子集。

空集的运算

空集（作为集合）上的运算也可能使人迷惑。（这是一种 空运算 。） 例如：空集元素的和为0，而它们的积为1（见空积）。这可能看上去非常奇怪，空集中没有元素，他们是怎么相加和相乘的呢？ 最终，这些运算的结果更多被看成是运算的问题，而不是空集的。比如，可以注意到0是加法的单位元，而1是乘法的单位元。

公理化集合论

在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论的公理化集合论中，空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分类公理，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若 A 是集合，则分离公理允许构造集合 B = { x ∈ A | x ≠ x } ，它就可以被定义为空集。

范畴论

若 A 为集合，则恰好存在一个从 {} 到 A 的函数 f ，即空函数。故此，空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。

空集只能通过一种方式转变为拓扑空间，即通过定义空集为开集；这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

哲学层面

尽管空集在数学中是一个标准，并被广泛接受，仍然有人对它表示怀疑。

Jonathan Lowe 认为，这一概念“无疑是数学历史上的里程碑，……；不需要假设其在计算时的有效性要基于其确实表达了某些对象”，但在另一方面，“我们所知的空集只是它 (1)是个集合，(2)没有元素，(3)在没有元素的集合中唯一。然而，有很多东西‘没有元素’，在集合论角度而言，叫做非集合。为什么它们没有元素是显而易见的，因为它们不是集合。不清楚的是，为什么在集合中，没有元素的 集合 是唯一的。仅仅通过约束是不可能将这么一个实体变出来的。”

在 "To be is to be the value of a variable…" ， Journal of Philosophy ，1984（在书 Logic, Logic and Logic 中再次发表）中，小 George Boolos 认为许多集合论中的结论，也可以透过对个体进行 复数量化 （ 英语 ： Plural quantification ） 来得到，所以无需把集合具体化为包含其他实体作为元素的实体。

参考资料

^ André Weil: Souvenirs d"apprentissage , Birkhäuser Verlag, Basel, 1991, p. 119. ISBN 978-3-7643-2500-8

^ Scott Pakin.The Comprehensive LaTeX Symbol List (PDF) : p. 65. 2009-11-09 [ 2014-09-16 ] . 引文格式1维护：冗余文本 (link)

^ E. J. Lowe. Locke. Routledge. 2005: 87.

^ *George Boolos, 1984, "To be is to be the value of a variable," The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in his 1998 Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard Univ. Press: 54–72.

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