证明

所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式 p ( z )，以下的多项式

就是一个实系数多项式，如果 z 是 q ( z )的根，那么 z 或它的共轭复数就是 p ( z )的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当| z |足够大时，首系数为1的 n 次多项式函数 p ( z )的表现如同 z 。一个更确切的表述是：存在某个正实数 R ，使得当| z | > R 时，就有：

复分析证明

证明一

寻找一个中心为原点，半径为 r 的闭圆盘 D ，使得当| z | ≥ r 时，就有| p ( z )| > | p (0)|。因此，| p ( z )|在 D 内的最小值（一定存在，因为 D 是紧致的），是在 D 的内部的某个点 z 0 取得，但不能在边界上取得。于是，根据最小模原理， p ( z 0 ) = 0。也就是说， z 0 是 p ( z )的一个零点（根）。

证明二

由于在 D 之外，有| p ( z )| > | p (0)|，因此在整个复平面上，| p ( z )|的最小值在 z 0 取得。如果| p ( z 0 )| > 0，那么1/ p 在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数 z ，都有|1/ p ( z )| ≤ |1/ p ( z 0 )|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知1/ p 是常数，因此 p 是常数。于是得出矛盾，所以 p ( z 0 ) = 0。

证明三

这个证明用到了辐角原理。设 R 为足够大的正实数，使得 p ( z )的每一个根的绝对值都小于 R ；这个数一定存在，因为 n 次多项式函数最多有 n 个根。对于每一个 r > R ，考虑以下的数：

其中 c ( r )是中心为0，半径为 r 的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是 p ( z )在中心为0、半径为 r 的开圆盘内的零点的数目 N ，由于 r > R ，所以它也是 p ( z )的零点的总数目。另一方面， n / z 沿着 c ( r )的积分除以2π i ，等于 n 。但这两个数的差为：

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是 n − 1，而分母的次数是 n + 1。因此，当 r 趋于+∞时，以上的数趋于0。但这个数也等于 N − n ，因此有 N = n 。

证明四

这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个 n > 0次复系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值 。证明用到了反证法。

设 A 为大小 n > 0的方块矩阵，并设 I n 为相同大小的单位矩阵。假设 A 没有特征值。考虑预解函数

它在复平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。 A 的特征值正好是 R(z) 的极点。根据假设， A 没有特征值，因此函数 R(z) 是整函数，根据柯西积分定理可知：

另一方面，把 R(z) 展开为几何级数，可得：

这个公式在半径为|| A ||的闭圆盘的外部（ A 的算子范数）成立。设 r > || A ||。那么：

（仅当 k = 0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此 A 一定有一个特征值。

拓扑学证明

设 z 0 ∈ C 为使| p ( z )|在 z 0 取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把 p ( z )写成 z − z 0 的多项式：存在某个自然数 k 和一些复数 c k 、 c k + 1 、…、 c n ，使得 c k ≠ 0，以及：

可推出如果 a 是− p ( z 0 )/ c k 的一个 k 重根，且 t 是足够小的正数，那么| p ( z 0 + ta )| p( z 0 )|，这是不可能的，因为| p ( z 0 )|是| p |在 D 内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设 p ( z )没有根。选择一个足够大的正数 R ，使得对于| z | = R ， p ( z )的第一项 z 大于所有其它的项的和；也就是说，| z | > | a n − 1 z + ··· + a 0 |。当 z 依逆时针方向绕过方程为| z | = R 的圆一次时， p ( z )，像 z 那样，依逆时针方向绕过零 n 次。在另外一个极端，| z | = 0时，“曲线” p ( z )仅仅是一个（非零的）点 p (0)，它的卷绕数显然是0。如果 z 所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么 p ( z )的路径也连续变形。我们可以变形记变形记为 H ( R e i θ θ --> , t ) = p ( ( 1 − − --> t ) R e i θ θ --> ) {\displaystyle H(Re^{i\theta },t)=p((1-t)Re^{i\theta })} ，其中 t 大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量 t 视为时间，那么在时间为零时，曲线为 p(z) ，时间为1时，曲线为 p(0) 。显然在每一个点 t ，根据原先的假设 p(z) 都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是 n ，结束时是0，因此得出矛盾。所以， p ( z )至少有一个根。

代数证明

这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上有实平方根，以及任何奇次多项式在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上有一个根（这可以用介值定理证明）。

首先 C = R [ x ] / ( x 2 + 1 ) = R ( i ) {\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {R} (i)} 。经过简单的计算可以证明 C {\displaystyle \mathbb {C} } 在开平方运算下是封闭的（利用事实1）。结合 c h a r C = 0 ≠ ≠ --> 2 {\displaystyle char\mathbb {C} =0\neq 2} 。得出 C {\displaystyle \mathbb {C} } 不存在二阶扩张。

由于 c h a r R = 0 {\displaystyle char\mathbb {R} =0} ，于是任何 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的扩张都是可分的，从而任何 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设 K / R {\displaystyle K/\mathbb {R} } 、 K / C {\displaystyle K/\mathbb {C} } 都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群 G = G a l ( K / R ) {\displaystyle G=Gal(K/\mathbb {R} )} 的西罗2-子群 H 。那么 [ K H : R ] {\displaystyle [K^{H}:\mathbb {R} ]} 是奇数。由本原元定理得出， K 存在本原元 α α --> {\displaystyle \alpha } ，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，不存在奇数次且次数>1的不可分多项式。于是 H = G , K H = R , [ K : R ] {\displaystyle H=G,K^{H}=\mathbb {R} ,[K:\mathbb {R} ]} 是2的幂次。

假设 [ K : C ] = 2 r {\displaystyle [K:\mathbb {C} ]=2^{r}} 并且 r>0 ，再次利用西罗定理， G 存在一个阶为 2 的子群 N 。这时 [ K N : C ] = 2 {\displaystyle [K^{N}:\mathbb {C} ]=2} 。这和先前 C {\displaystyle \mathbb {C} } 不存在二阶扩张矛盾。因此 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的任何代数扩张都是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 本身，代数基本定理得证。

推论

由于代数基本定理可以视为复数域是代数封闭的，可推出任何关于代数封闭域的定理在复数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与复数域之间的关系的：

复数域是实数域的代数闭包。

每一个一元实系数多项式都可以表示为常数、 x + a 形式的多项式（ a 为实数），以及 x + ax + b 形式的多项式（ a 和 b 为实数， a − 4 b

每一个一元实系数有理函数都可以写成 a /( x − b ) 形式的有理函数（其中 n 是自然数， a 和 b 是实数），与( ax + b )/( x + cx + d ) 形式的有理函数（其中 n 是自然数， a 、 b 、 c 和 d 是实数， c − 4 d 初等的原函数。

实数域的任何一个代数扩张要么与实数域同构，要么与复数域同构。

韦达公式

韦达公式把多项式的系数 { a k } {\displaystyle \lbrace a_{k}\rbrace } 与它的根 { x k } {\displaystyle \lbrace x_{k}\rbrace } 的和与积联系起来。

这可以直接从以下等式的展开式推出： a n X n + a n − − --> 1 X n − − --> 1 + ⋯ ⋯ --> + a 1 X + a 0 = a n ( X − − --> x 1 ) ( X − − --> x 2 ) ⋯ ⋯ --> ( X − − --> x n ) {\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}

参考文献

历史上的文献

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