历史

这个定理最早由伯纳德·波尔扎诺证明，当他在证明介值定理时，附带证明了这个定理，但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔扎诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

基础概念

子列：也称为子序列。一个序列 ( a n ) n ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 的一个子列是指在 ( a n ) n ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 中抽取无穷多个元素，然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是：如果存在一个从 N {\displaystyle \mathbb {N} } 到 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的严格单调递增的映射 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } ，使得 b ϕ ϕ --> ( n ) = a n , ∀ ∀ --> n ∈ ∈ --> N {\displaystyle b_{\phi (n)}=a_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} } ，就称 ( b n ) n ∈ ∈ --> N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 是 ( a n ) n ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 的一个子列。

有界闭集： R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的有界闭集概念建立在给定的拓扑和度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价，所以可以将 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 视为装备了欧几里德度量的度量空间（并且可以定义相应的范数）。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的子集 E {\displaystyle E} 有界，当且仅当所有 E {\displaystyle E} 中元素 x {\displaystyle x} 的范数小于一个给定常数 K {\displaystyle K} 。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。

序列紧致：称一个集合 S {\displaystyle S} 是序列紧致的，是指每个由集合 S {\displaystyle S} 中元素所组成的数列都包含收敛的子列，并且该子列收敛到集合 S {\displaystyle S} 中的某个元素。

定理

波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中序列紧致集合的定理。波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：

定理 1 ： 任一 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的有界序列 ( a n ) n ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 都至少包含一个收敛的子列。

从这个定理出发，在给定的有界闭集 F {\displaystyle F} 中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从 F {\displaystyle F} 的封闭性可知，这个子列作为 F {\displaystyle F} 的一部分，其收敛的极限必然也在 F {\displaystyle F} 中。所以可以推知：

推论 ： 任一 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的有界闭集必然序列紧致。

这个推论给出了 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中集合序列紧致的充分条件。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：

定理 2 ： R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的一个子集 E {\displaystyle E} 是序列紧致的，当且仅当 E {\displaystyle E} 是有界闭集。

由于有限维赋范向量空间都与装备了欧几里德范数的 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 同胚，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维赋范向量空间。

证明

证明的关键是定理的核心部分，也就是定理1：任一 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的有界序列 ( a n ) n ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 都至少包含一个收敛的子列。

引理 ： 任何实数列必然包含单调的子列。

引理的证明 ： 设有实数列 ( a n ) n ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ，定义集合： X = { a k ; ∀ ∀ --> n ≥ ≥ --> k , a k ≥ ≥ --> a n } {\displaystyle X=\{a_{k};\ \forall n\geq k,\ a_{k}\geq a_{n}\}} 。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。 综上可得，任何实数列必然包含单调的子列。

定理的证明 ： 先考虑一维（也就是 n = 1 {\displaystyle n=1} ）的情况。给定有界的实数列 ( a k ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }} ，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据数列的单调收敛定理，这个子列必然收敛。 对于高维（ n ⩾ ⩾ --> 2 {\displaystyle n\geqslant 2} ）的情况，证明的思路是取多次子列。 设 ( a k ) k ∈ ∈ --> N = ( a 1 k , a 2 k , ⋯ ⋯ --> , a n k ) k ∈ ∈ --> N ∈ ∈ --> R n {\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=(a_{1k},a_{2k},\cdots ,a_{nk})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{n}} 为一个有界序列，则 n {\displaystyle n} 个实数列 ( a i k ) k ∈ ∈ --> N , 1 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n {\displaystyle (a_{ik})_{k\in \mathbb {N} },1\leq i\leq n} 都是有界数列。于是存在 ( a k ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }} 的子列 ( a ϕ ϕ --> 1 ( k ) ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }} 使得 ( a 1 ϕ ϕ --> 1 ( k ) ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{1\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }} 收敛。但是 ( a ϕ ϕ --> 1 ( k ) ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }} 仍是有界数列，因而存在子列 ( a ϕ ϕ --> 2 ( ϕ ϕ --> 1 ( k ) ) ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }} 使得 ( a 2 ϕ ϕ --> 2 ( ϕ ϕ --> 1 ( k ) ) ) ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{2\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{\in \mathbb {N} }} 也收敛（注意这里 ( a 1 ϕ ϕ --> 2 ( ϕ ϕ --> 1 ( k ) ) ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{1\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }} 必然是收敛的）。在进行类似的 n {\displaystyle n} 次操作后，我们就可以得到一个子列，使得 ∀ ∀ --> 1 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n , ( a i ϕ ϕ --> n ( ⋯ ⋯ --> ϕ ϕ --> 2 ( ϕ ϕ --> 1 ( k ) ) ⋯ ⋯ --> ) ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle \forall 1\leq i\leq n,\ (a_{i\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }} 都收敛，也就是说存在子列 ( a ϕ ϕ --> n ( ⋯ ⋯ --> ϕ ϕ --> 2 ( ϕ ϕ --> 1 ( k ) ) ⋯ ⋯ --> ) ) k ∈ ∈ --> N {\displaystyle \ (a_{\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }} 收敛。证毕。

波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质

在有限维度量空间中，波尔查诺－魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质。

定义 ： 设 K {\displaystyle K} 为度量空间 ( E ; d ) {\displaystyle (E;\;d)} 的子集。若 K {\displaystyle K} 中任一序列 ( a n ) n ∈ ∈ --> N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 都包含一个收敛的子列，其极限也是 K {\displaystyle K} 中元素，就称 K {\displaystyle K} 具有波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质。

如果度量空间本身满足波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质，就称这个度量空间为紧空间(和前述说法矛盾？）。在测度空间中，波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质等价于海恩－波莱尔性质：所有 K {\displaystyle K} 的开覆盖都有限子覆盖 。

参考来源

Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

外部链接

A proof of Bolzano–Weierstrass Theorem

PlanetMath: proof of Bolzano–Weierstrass Theorem

Proof of Bolzano–Weierstrass Theorem as a rap

Demonstration of Bolzano–Weierstrass Theorem

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