定义

实数矩阵A的QR分解是把A分解为

这里的Q是正交矩阵（意味着QQ = I）而R是上三角矩阵。类似的，我们可以定义A的QL, RQ和LQ分解。

更一般的说，我们可以因数分解复数m{\displaystyle m}×n{\displaystyle n}矩阵（有着m ≥ n）为m{\displaystyle m}×n{\displaystyle n}酉矩阵（在QQ = I的意义上）和n{\displaystyle n}×n{\displaystyle n}上三角矩阵的乘积。

如果A是非奇异的，且限定R 的对角线元素为正，则这个因数分解是唯一的。

QR分解的求法

QR分解的实际计算有很多方法，例如Givens旋转、Householder变换，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。

Gram-Schmidt正交化

使用Householder变换

Householder变换将一个向量关于某个平面或者超平面进行反射。我们可以利用这个操作对m× × -->n(m≧ ≧ -->n){\displaystyle m\times n(m\geqq n)}的矩阵A{\displaystyle A}进行QR分解。

矩阵Q{\displaystyle Q}可以被用于对一个向量以一种特定的方式进行反射变换，使得它除了一个维度以外的其他所有分量都化为0。

令x{\displaystyle \mathbf {x} }为矩阵A{\displaystyle A}的任一m维实列向量，且有∥ ∥ -->x∥ ∥ -->=|α α -->|{\displaystyle \|\mathbf {x} \|=|\alpha |}（其中α α -->{\displaystyle \alpha }浮点数）。若该算法是通过浮点数实现的，则α α -->{\displaystyle \alpha }应当取和x{\displaystyle \mathbf {x} }的第k{\displaystyle k}维相反的符号（其中xk{\displaystyle x_{k}}是要保留不为0的项），这样做可以避免精度缺失。对于复数的情况，令

（Stoer & Bulirsch 2002，p.225），并且在接下来矩阵Q{\displaystyle Q}的构造中要将矩阵转置替换为共轭转置。

接下来，设e1{\displaystyle \mathbf {e} _{1}}为单位向量(1,0,⋯ ⋯ -->,0)T{\displaystyle (1,0,\cdots ,0)^{T}}，||·||为欧几里的范数，I{\displaystyle I}为m× × -->m{\displaystyle m\times m}单位矩阵，令

或者，若A{\displaystyle A}为复矩阵，则

则Q{\displaystyle Q}为一个m× × -->m{\displaystyle m\times m}的Householder矩阵，它满足

利用Householder矩阵，可以将一个m× × -->n{\displaystyle m\times n}的矩阵A′{\displaystyle A"}变换为上三角矩阵。 首先，我们将A左乘通过选取矩阵的第一列得到列向量x{\displaystyle x}的Householder矩阵Q1{\displaystyle Q_{1}}。这样，我们得到的矩阵Q1A{\displaystyle Q_{1}A}的第一列将全部为0（第一行除外）：

这个过程对于矩阵A′{\displaystyle A"}（即Q1A{\displaystyle Q_{1}A}排除第一行和第一列之后剩下的方阵）还可以继续做下去，从而得到另一个Householder矩阵Q2{\displaystyle Q_{2}}。注意到Q2{\displaystyle Q_{2}}其实比Q1{\displaystyle Q_{1}}要小，因为它是在Q1A{\displaystyle Q_{1}A}而非A{\displaystyle A}的基础上得到的。因此，我们需要在Q2{\displaystyle Q_{2}}的左上角补上1，或者，更一般地来说：

将这个迭代过程进行t{\displaystyle t}次之后（t=min(m− − -->1,n){\displaystyle t=\min(m-1,n)}）,将有

其中R为一个上三角矩阵。因此，令

则A=QR{\displaystyle A=QR}为矩阵A{\displaystyle A}的一个QR分解。

相比与Gram-Schmidt正交化，使用Householder变换具有更好的数值稳定性。

Matlab

MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为

此外，原矩阵A不必为正方矩阵； 如果矩阵A大小为m*n，则矩阵Q大小为m*m，矩阵R大小为m*n。

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