历史

鲁道夫·克劳修斯早在1857年就引入了平均自由程的概念。后来詹姆斯·麦克斯韦在1859年推导出麦克斯韦速度分布律后，推导出了气体分子平均自由程的更为准确的计算公式。

推导

分子碰撞截面

分子之间发生碰撞，但大多数情况并非发生对心碰撞。两个碰撞的分子根据两者发生碰撞瞬间“对心”的情况，所产生的方向偏离不同。当入射分子的方向和目标分子的质心的垂直距离大于某一确定值时，就不再发生速度偏离。这时的“某一确定值”称为分子有效直径 d {\displaystyle d\,} 。定义分子碰撞截面 σ σ --> {\displaystyle \sigma \,} ，即在这个圆形截面之外的范围射入的分子都不会发生速度方向偏离。关于这个截面，有以下方程：

气体分子间的平均碰撞率

单位时间内气体分子发生的碰撞次数称为平均碰撞频率，一般用 Z ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {Z}}\,} 表示，实验结果表示，有以下方程：

其中， n {\displaystyle n} 是气体分子的分子数密度， v r e l {\displaystyle v_{rel}\,} 是碰撞的相对速率。

由于入射分子和目标分子都在移动，不能够只考虑入射分子的移动速率，必需考虑入射分子对于目标分子的相对速率。如果是同种气体分子，则平均相对速率为

其中， v ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {v}}\,} 是气体分子平均速率。

气体分子的平均自由程的推导

设分子平均速率为 v ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {v}}\,} ，则它在 t {\displaystyle t\,} 时间内走过的平均路程为 v ¯ ¯ --> t {\displaystyle {\overline {v}}t\,} ；另外，在这段时间内分子发生的平均碰撞次数为 Z ¯ ¯ --> t {\displaystyle {\overline {Z}}t\,} ，故由：

当为同种气体分子时，得到

应用理想气体定律，可以得到

其中， k B {\displaystyle k_{B}\,} 是玻尔兹曼常量， T {\displaystyle T\,} 是温度， p {\displaystyle p\,} 是压强。

自由程的分布

  平均自由程分布示意图

自由程从 x {\displaystyle x\,} 到无穷大的分子占分子总数的比例为：

平均自由程在 x {\displaystyle x\,} 与 x + d x {\displaystyle x+dx\,} 范围内的分子占分子总数的比例为：

以上两式中， N 0 {\displaystyle N_{0}\,} 是碰撞分子总数， λ λ --> ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {\lambda }}\,} 是平均自由程。

相关条目

热学

麦克斯韦速度分布律

分子运动论

延伸阅读

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. : pp. 515–516. ISBN 978-0471105589 . 引文格式1维护：冗余文本 (link)

赵凯华，罗蔚茵. 《新概念物理教程-热学》. 高等教育出版社. ISBN 978-7040176803 . 

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