希尔伯特空间表示定理

这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。

设 H{\displaystyle H} 是一个希尔伯特空间，令 H∗ ∗ -->{\displaystyle H^{*}} 表示它的对偶空间，由从 H{\displaystyle H} 到域 R{\displaystyle \mathbb {R} } 或 C{\displaystyle \mathbb {C} } 的所有连续线性泛函。如果 x{\displaystyle x} 是 H{\displaystyle H} 中一个元素，则函数 ϕ ϕ -->x{\displaystyle \phi _{x}} 定义为

是 H∗ ∗ -->{\displaystyle H^{*}} 的一个元素，这里 ⟨ ⟨ -->⋅ ⋅ -->,⋅ ⋅ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 表示希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言 H∗ ∗ -->{\displaystyle H^{*}} 中任何元素都能惟一地写成这种形式。

定理：映射

是一个等距（反）同构，这就是说：

Φ Φ -->{\displaystyle \Phi } 是双射。

x{\displaystyle x} 的范数与 Φ Φ -->(x){\displaystyle \Phi (x)} 的范数相等：∥ ∥ -->x∥ ∥ -->=∥ ∥ -->Φ Φ -->(x)∥ ∥ -->{\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \Phi (x)\Vert }。

Φ Φ -->{\displaystyle \Phi } 可加：Φ Φ -->(x1+x2)=Φ Φ -->(x1)+Φ Φ -->(x2){\displaystyle \Phi (x_{1}+x_{2})=\Phi (x_{1})+\Phi (x_{2})}。

如果底域是 R{\displaystyle \mathbb {R} }，则 Φ Φ -->(λ λ -->x)=λ λ -->Φ Φ -->(x){\displaystyle \Phi (\lambda x)=\lambda \Phi (x)} 对所有实数 λ λ -->{\displaystyle \lambda }。

如果底域是 C{\displaystyle \mathbb {C} }，则 Φ Φ -->(λ λ -->x)=λ λ -->¯ ¯ -->Φ Φ -->(x){\displaystyle \Phi (\lambda x)={\bar {\lambda }}\Phi (x)} 对所有复数 λ λ -->{\displaystyle \lambda }，这里 λ λ -->¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {\lambda }}} 表示 λ λ -->{\displaystyle \lambda } 的复共轭。

Φ Φ -->{\displaystyle \Phi } 的逆映射可以描述为： 给定 H∗ ∗ -->{\displaystyle H^{*}} 中一个元素 ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi }，核 ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi } 的正交补是 H{\displaystyle H} 的一维子空间。取那个子空间中一个非零元素 z{\displaystyle z}，令 x=ϕ ϕ -->(z)⋅ ⋅ -->z/∥z∥2{\displaystyle x=\phi (z)\cdot z/{\left\Vert z\right\Vert }^{2}}。则 Φ(x) = φ。

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇在1907年发现（见参考文献）。格雷（Gray）在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算 A[f]{\displaystyle A[f]}，可以构造有界变差函数 α α -->(x){\displaystyle \alpha (x)}，使得无论连续函数f(x){\displaystyle f(x)} 是什么，都有 A[f]=∫ ∫ -->01f(x)dα α -->(x).{\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x).}”

在量子力学的数学处理中，这个定理可以视为流行的狄拉克符号记法的根据。当定理成立时，每个右括号 |ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle } 有一个相应的左括号 ⟨ ⟨ -->ψ ψ -->|{\displaystyle \langle \psi |}，对应是清楚的。但是存在拓扑向量空间，比如核空间（Nuclear space），里斯表示定理不成立，在这样的情形狄拉克符号变得不合适。

Cc(X) 上线性泛函的表示定理

下面的定理表示出 Cc(X) 上的正线性泛函，紧支集连续复值函数空间。下面所说的波莱尔集表示由开集生成的σ-代数。

局部紧豪斯多夫空间X 上一个非负可数可加波莱尔测度 μ 是正规的当且仅当

μ(K) < ∞ 对所有紧集 K；

对每个波莱尔集 E，

关系

成立只要 E 是开集和 E 是波莱尔集且 μ(E) < ∞。

定理：设 X 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 Cc(X) 上任何正线性泛函 ψ，在 X 上存在惟一的波莱尔正则测度 μ 使得

对所有 f ∈ Cc(X)。

进入测度论的一个途径是从拉东测度开始，定义为 C(X) 上一个正线性泛函。这种方式由布尔巴基采取；这里显然假设 X 首先是一个拓扑空间，而不仅是一个集合。对局部紧空间，重新得到了一个积分理论。

C0(X) 的对偶空间的表示定理

下面定理也称为里斯-马尔可夫定理，给出了 C0(X) 的对偶空间的一个具体实现，X 上在无穷远趋于零的连续函数。定理陈述中的波莱尔集合同样指由开集生成的 σ-代数。结论与上一节类似，但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释。

如果 μ 是一个复值可数可加波莱尔测度，μ 是正则的当且仅当非负可数可加测度 |μ| 正则（上一节所定义的）。

定理：设 X 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C0 上任何连续线性泛函ψ，存在 X 上惟一正则可数可加波莱尔测度 μ 使得

对所有 f∈ C0(X)。ψ 的范数作为线性泛函是 μ 的全变差（total variation），即

最后，ψ 是正的当且仅当测度 μ 是非负的。

注：Cc(X) 上任何有界线性泛函惟一延拓为 C0(X) 上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 Cc(X) 上一个无界正线性泛函不能延拓为 C0(X) 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献

M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris144, 1414–1416.

F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris144, 1409–1411.

F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris149, 974–977.

J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.

P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.

P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).

D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).

Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.

MathWorld上Riesz Representation Theorem的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。

PlanetMath上Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces的资料。

Proof of Riesz representation theorem in Hilbert spacesonBourbawiki

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