曲面积分

定义在下文中，所有曲面视为第二可数2-维流形。更精确一点的讲：一个拓扑（带边界）曲面是一个豪斯多夫空间，其中每点有一个开邻域同胚于或者一个E的开子集或者E的闭的一半的开子集。有一个同胚于E的开子集的点的集合称为流形的内部；它总是非空的。内部的补集称为边界；它是一个（1）流形，或者说闭曲线的并集。无边界的曲面称为闭的，如果它是紧的，否则称为开。闭曲面分类闭（紧无边界）连通曲面有完整的分类，同类的曲面至多相差一个同胚。所有这种曲面属于下面三个无穷多的集合之一：球面加上n个柄（称为n-环）。这些是欧拉示性数为2-2n的可定向曲面，也称为亏格（genus）为n的曲面。带n个柄的射影平面（Projectiveplane）。这些是欧拉特征数为1-2n的不可定向曲面。带n个柄的克莱因瓶。这些是欧拉特征数为-2n的不可定向曲面。所以欧拉示性数和可定向性描述了一个紧曲面除了可能的同胚（若曲面光滑则为微分同胚...

子分方法有几种细化方案：Catmull-Clark是双三次B-样条的推广Doo-Sabin是双二次均匀B-样条的推广Loop是二次三角形box样条的推广，由CharlesLoop发明。（可以用于三角形网格）蝶型因为该方案的形状得名中边（Midedge）Kobbelt是变分法子分方法，它试图克服均匀子分的缺点。相对于NURBS模型的优点在主要的建模软件中，细分曲面建模现在比非均匀有理B样条（NURBS）建模更为流行。因为它们有很多优点：适用于任意拓扑结构数值上稳定实现简易局部连续性控制局部细化和B-样条的关系B-样条曲线可以细化：他们的控制点序列可以细化而迭代进程收敛于实际曲线。这对于曲线来讲毫无用处，但是它推广到曲面就产生了细分曲面。细化进程插值过程在保持原有定点不动的情况下插入新的点。细化过程在子分的每一步插入新的顶点并移动旧的定点。特殊点Catmull-Clark细化方案是双三次均匀B...

例子极小曲面的经典例子包括：欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面；悬链曲面：由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲面。悬链曲面状的皂液膜可以由将两个等大的圆环紧贴放入肥皂水中，拿出后再缓慢分开得到；螺旋曲面：一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋上升时扫过的曲面。这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面；恩内佩尔曲面。定义给定一个嵌入曲面，或更一般的，一个浸入曲面（其边界一般固定，但不一定有界），定义其平均曲率如下：而极小曲面是指每一点上的平均曲率都是0的曲面。这种曲面的研究始于有关满足一定的约束条件（比如边界固定或容纳体积满足一定条件）下表面积最小的曲面，因此被称为“极小曲面”。实际上极小曲面所囊括的内涵比此类最小面积曲面更广泛。极小曲面的定义还可以扩展到恒定平均曲率曲面，即曲面上由平均曲率等于某个常数的点组成的子曲面。当这个常数等于零的时...

双曲面,图片单叶双曲面。每一根丝线都是直线。曲面的每一点，都有两根包含于曲面的直线经过。所以表示出单叶双曲面是个双重直纹曲面广州新电视塔英格兰剑桥郡的冷却塔参阅椭球面抛物面卵形体直纹曲面

凸面镜一个凸面镜的图解，显示出焦点、焦距、曲率中心、主轴等等。凸面镜或发散镜是将光线由表面朝向光源反射的曲面镜。这种镜子只能形成虚像，因为焦点F和曲率中心2F两者都是在镜面内侧，实际上并不存在的虚点。准直（平行）的一束光线被凸面镜反射后会发散，因为镜子表面每个点的法线是不同方向的。影像影像永远是虚像（光线没有真正的穿过影像）、缩小的（较小）正像。这个特色使凸面镜非常有用：在镜子上的一切看起来都变小，所以可以将影像“压缩”，比平面镜涵盖更大的视场。在汽车上的乘客侧镜就是典型的凸面镜。在一些国家，这些镜子还需要标示安全警示：“实际的物体比所见的更为接近”，以提醒驾驶凸面镜的扭曲对距离判断所造成的影响。光路图凹面镜一个凹面镜的图解，显示出焦点、焦距、曲率中心、主轴等等。凹面镜或汇聚镜会将反射的光线像内偏折（永远朝像入射光源）。不同于凸面镜，凹面镜会因为物体与镜面本身距离的不同，而呈现不同的影像。...